Question

Para que valores de la ordenada tendra (y)del el siguiente triangulo de vertice A(-3 , 4) B ( 6,1) C (4 ,y) y un area de 25 Unidades cuadraticas

Hallar la ordenada (y)

Answer 1

Para qué valores de la ordenada " y " el siguiente triángulo de vértices           A (-3 ; 4), B ( 6 ; 1),  C (4 ; y) tendrá un área de 25 Unidades cuadradas.

Hola!!

Datos:

A (-3 ; 4)

B ( 6 ; 1)

C (4 ; y)

Sabemos que el Área de un Triángulo. A = Base × Altura

A = b × h

Deberemos hallar b y h:

Para ello comenzamos hallando la distancia AB:

dAB =√(X₂ -X₁)² + (y₂ - y₁)²

dAB = 3√10     Base de Triángulo

                                                          (Ver cálculos en archivo adjunto)

Luego debemos hallar la Ecuación de la Recta que paso por los puntos A y B, para ello hallaremos la pendiente  de la recta:

m = (y₂ - y₁) /(x₂ - x₁)

m = -1/3                                (Ver cálculos en archivo adjunto)

Ecuación de la Recta - Pendiente:

y - y₁ = m(x - x₁)

Recta AB: y = -1/3x + 3

Hallando la distancia de el punto  " C " a la recta AB  tendremos la altura del Triángulo, para ello usamos la Formula Distancia de un punto a una Recta:

d(P ; r) = ║Ax₁ + By₁ + C║ / √A² + B²

Siendo Recta: Ax + By + C = 0

P (x₁ ; y₁)                            

h = dAB = ║-5/3 + y║× 3 / √10      Altura del Triángulo

                                                           (Ver cálculos en archivo adjunto)

Área Δ = (b × h) /2

A = 3√10 × ║-5/3 + y║× 3 / √10  

Considerando que tenemos Valor absoluto podemos afirmar que tendremos 2 Soluciones:

A = (3√10 × (-5/3 + y₁) × 3 / √10) /2

A = (3 × (-5/3 + y₁) × 3) /2

25 = 9 × (-5/3 + y₁) /2

25 × 2 = 9 × (-5/3 + y₁)

50/9 = -5/3 + y₁

y₁ =  65/9 = 7.2

A = (3√10 × (-) (-5/3 + y₂) × 3 / √10) /2

A = (3√10 × (5/3 - y₂) × 3 / √10) /2

25 = (3 × (5/3 - y₂) × 3) /2

25 × 2 = 9 × (5/3 - y₂)

50/9 = 5/3 - y₂

50/9 - 5/3 = -y₂

35/9 = -y₂

y₂ = -35/9 = -3.9

Verificacion:

d(C ; AB) = ║Ax₁ + By₁ + C║ / √A² + B²

d(C ; AB) = ║1/3 × 4 + 1 × 7.2 - 3║ / √1//3² + 1²

d(C ; AB) = ║5.53║ / √10/3

d(C ; AB) = 5,25 = h ⇒

A = (b × h) /2

25 = (3√10 × 5.25) /2

25 = 50/2

25 = 25  Verifica!!!

Dejo archivo adjunto con todos los cálculos y el gráfico + otra forma de verificar, siempre es importante hacerlo, para asegurarnos los resultados.

Espero haber ayudado!!!