Question

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy/dx=g(x)h(y), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫▒〖1/(h(y)) dy〗=∫▒g(x)dx Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: y lnx dx/dy=〖((y+1)/x) 〗^2, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como:
A)1/3 x^3 lnx-1/9 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c
B)1/3 x^3 lnx+1/9 x^3=1/2 y^2+2y-ln|x|+c
C)1/2 x^3 lnx-1/4 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c
D)1/3 x^3 lnx+1/9 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c

Answer 1

Yo diría que la A) con un matiz: el ultimo logaritmo neperiano no es de x sino de y.

Si tenemos la ecuacion:

y * ln(x)*dx/dy = ((y+1)/x)² podemos agrupar factores como:

x²*ln(x)*dx = (y+1)²/y *dy

E integrando a ambos lados de la igualdad:

1/3*x³*ln(x) -1/9*x³ = 1/2y²+2y+ln(|y|) + C

Y con la condicion de contorno y(0) = 0 podemos hallar el valor de la constante C