• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: enriquevides01
  • hace 8 años

Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma: dy/dx=f(x,y), o M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente y/x, o de la forma dy/dx=f(u), donde u=y/x , por lo tanto dy/dx=f(y/x). Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea:〖y^3+x〗^3 dy/dx=xy^2 dy/dx, corresponde a:
A)y=ce^□(y^2/(2x^2 ))
B)e^(x/y)=cx
C)y=lnx+e^(y^2/2)+c
D)y=e^(y^2/x^2 )+c

Respuestas

Respuesta dada por: gedo7
1

RESPUESTA:

Tenemos una ecuación diferencial homogénea tal que:

(y³+x)³ dy/dx=xy² → No es homogénea

Así como esta escrita la ecuación no es para nada homogénea, por tanto presumo que realmente tiene la siguiente forma:

(y³+x³) dy/dx = xy²

Recordemos que en la ecuaciones homogéneas todas las potencias deben ser iguales, verifiquemos:

→ potencia 3

→ potencia 3

xy² → se suman las potencias 1+2 = 3, potencia 3

Para resolver este tipo de ecuaciones haremos un cambio de variables.

y = ux → dy = xdu + udx

Reescribimos y sustituimos el cambio en nuestra ecuación, tenemos:

(y³ + x³) dy - (xy²) dx = 0

(u³x³ + x³)(xdu + udx) - (x(ux)²) dx = 0

u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du + x³u dx - ux³ dx = 0

Simplificamos y tenemos:

u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du = 0

Multiplicamos por el factor (1/x⁴u⁴) ya que es una ecuación separable.

1/u · du + 1/x dx + 1/u⁴ du = 0

Ya que esta separada procedemos a integrar:

∫1/u · du + ∫1/x dx + ∫1/u⁴ du = 0

Ln|u| + ln|x| - u⁻³/3 +C = 0

Debemos devolver el cambio sabiendo que u = y/x

Ln|y/x| + ln|x| - (y/x)⁻³/3 +C = 0

ln|y| - x³/3y³ + C = 0

y = e^(x³/3y³) + C →  Solución general

NOTA: Verificar si el enunciado no tiene ningún error, de todas manera el proceso es el mismo.


camachomath: profe la ecuación es: la misma que hiciste pero al lado de xy^2 también va un dx/dy
gedo7: El dy/dx no puede estar en ambos lados de la igualdad. La misma teoría del ejércicio lo dice.
camachomath: entonces quedé super perdido, ya que la respuesta que tu nos das no coincide con ninguna de las cuatro opciones
gedo7: Revisa el ejercicio está bien escrito! Mi solución para la ecuación es correcta. Saludos!
camachomath: Ok, gracias
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