Question

AYUDA POR FAVOR ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy/dx=g(x)h(y), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫▒〖1/(h(y)) dy〗=∫▒g(x)dx Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: y lnx dx/dy=〖((y+1)/x) 〗^2, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como:
A)1/3 x^3 lnx-1/9 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c
B)1/3 x^3 lnx+1/9 x^3=1/2 y^2+2y-ln|x|+c
C)1/2 x^3 lnx-1/4 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c
D)1/3 x^3 lnx+1/9 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c

Answer 1

RESPUESTA:

Inicialmente tenemos una ecuación diferencial separable, entonces:

y lnx dx/dy= ((y+1)/x)²

Debemos separar variables:

y·ln(x)dx/dy = (y+1)²/x²

x²·ln(x)dx = (y+1)²/y dy

Aplicamos ahora integración:

∫x²·ln(x)dx = ∫(y+1)²/y dy

Debemos integrar ambos lados, lo haremos de forma separada.

I₁ = ∫x²·ln(x)dx → Integral por partes

Formula de integral por partes

∫u·v = u·v - ∫v·du

Ahora seleccionamos nuestros parámetros:

u = ln(x) → du = 1/x · dx

v = ∫x² dx → v = x³/3

Sustituimos y tenemos:

I₁ = x³/3 · ln(x) - ∫x³/3 · 1/x ·dx

I₁ = x³/3 · ln(x) - x³/9 + C

Ahora nuestra segunda integral:

I₂ = ∫(y+1)²/y dy → Integral algebraica

Resolvemos producto notable y separamos.

I₂ = ∫(y² + 2y + 1)/y dy

I₂ = ∫(y²/y) dy + ∫2y/y dy  + ∫1/y dy

I₂ = y²/2 + 2y + ln|y| +C

Por tanto nuestra ecuación diferencial será:

I₁ = I₂

x³/3 · ln(x) - x³/9  = y²/2 + 2y + ln|y| +C → Solución general

Por tanto la opción correcta es la A.