Question

Resolver paso a paso usando propiedades básicas de integración (no emplear métodos avanzados de integración).

Answer 1

Se emplean metodos algebraicos para simplificar el argumento de la integral:

$\frac{x^5+12x^2-5x}{x^2-2x+5}=\frac{(x^3+2x^2-x)(x^2-2x+5)}{x^2-2x+5}=x^3+2x^2-x$

Entonces tendremos una serie de suma de integrales simples, donde se usa la propiedad: $\int{z^n}\,dz=\frac{z^{n+1}}{n+1}$ para n≠-1

$\int{\frac{x^5+12x^2-5x}{x^2-2x+5}}\,dx=\int{(x^3+2x^2-x)}\,dx\\ \\=\int{x^3}\,dx+2\int{x^2}\,dx-\int{x}\,dx\\ \\=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}$

Adjunto una imagen con la division de los 2 polinomios