Question

Supongamos que una sustancia decae de tal modo que ½ de ella queda después de cada 1 hora. Si había 640 gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? y ¿cuánto queda después de "n" horas?
Respuestas:
Después de 7 horas quedan 5 gramos
Despues de "n" horas quedan 640/2n gramos

Answer 1

Hola! ☺

Este ejercicio lo haremos por inducción

Cuando sea:

$1 \: hora = 320 \: gramos = \frac{640}{2} = \frac{640}{ {2}^{1} } \\ \\ 2 \: horas = 160\: gramos = \frac{640}{4} = \frac{640}{ {2}^{2} } \\ \\ 3 \: horas = 80 \: gramos = \frac{640}{8} = \frac{640}{ {2}^{3} } \\ . \\ . \\ . \\ n \: horas = \frac{640}{ {2}^{n} }$

Con esto contestamos a la segunda pregunta, para la primera reemplazaremos n = 7

$7 \: horas = \frac{640}{ {2}^{7} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 5$

Answer 2

Luego de 7 horas hay 5 bacterias, y luego de "n" horas hay un total de 640*(1/2)ⁿ bacterias

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un número a1 y los siguientes términos se consiguen multiplicando al anterior por una constante llamada razón denotada con la letra r.

El termino nesimo de una progresión geometrica es:

an = a1*rⁿ⁻¹

Cálculo de las cantidades solicitadas

Tenemos que se rige por una progresión geométrica donde a1 = 640, r = 1/2, como comenzamos en la hora "0", tenemos que eliminamos el -1 de la expresión, para que n sea el total de horas transcurridas:

an = 640*(1/2)ⁿ

Después de 7 horas:

640*(1/2)⁷ = 5

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