Respuestas
El valor de k pata que una raiz sea el doble de la otra es k = -9
La resolvente es una ecuación general que permite encontrar raíces de polinomios de segundo grado y es:
Sea el polinomio ax² + bx + c = entonces las raíces son:
x1,2 = (-b ± √(b²- 4ac))/2a
Por lo tanto tenemos el polinomio: 2x² + kx + 9 = 0
Las raíces son:
x1 = (-k + √(k²- 4*2*9))/2*2
x1 = (-k + √(k²- 72))/4
x2 = (-k - √(k²- 4*2*9))/2*2
x2 = (-k - √(k²- 72))/4
Como quiero que una sea el doble de la otra: y la menor es x2 entonces x1 debe ser el doble de x2
(-k + √(k²- 72))/4 = 2*((-k - √(k²- 72))/4)
⇒ (-k + √(k²- 72))/4 = (-k - √(k²- 72))/2
⇒ 4* (-k + √(k²- 72))/4 =4* (-k - √(k²- 72))/2
⇒ (-k + √(k²- 72))= 2*(-k - √(k²- 72))
⇒ - k + √(k²- 72) = - 2k - 2√(k²- 72)
⇒ - k + √(k²- 72) + 2k + 2√(k²- 72) = 0
⇒ k + 3√(k²- 72) = 0
⇒ k = - 3√(k²- 72) k debe ser negativo
⇒ k² = 9*(k² - 72)
⇒ k² = 9k² - 648
⇒ 648 = 9k² - k²
⇒ 648 = 8k²
⇒ k² = 648/8 = 81
⇒ k = ±√81 = ± 9, ahora habíamos dicho que k debía ser negativo para que tuviera sentido la ecuación entonces k = 9.
El polinomio es:
2x² -9x + 9 y las raíces son 1.5 y 3
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