Respuestas
Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.
Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados.
Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )} {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )} constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )} {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )}, donde {\displaystyle \leq } \leq es el orden usual sobre {\displaystyle \mathbb {Z} } \mathbb{Z}, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante {\displaystyle \mathbb {Z} } \mathbb{Z} (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).
Construcción formal de los enteros a partir de los naturales
Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo {\displaystyle -3=5-8} {\displaystyle -3=5-8}, de donde puede asociarse el número {\displaystyle -3} {\displaystyle -3} con el par ordenado {\displaystyle (5,8)} {\displaystyle (5,8)} de números naturales. Sin embargo, debido a que {\displaystyle (4,7)} {\displaystyle (4,7)} y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado {\displaystyle -3} {\displaystyle -3} al restar, no puede decirse simplemente que {\displaystyle -3=(5,8)} {\displaystyle -3=(5,8)}. Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado {\displaystyle -3} {\displaystyle -3} al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados {\displaystyle (a,b)} {\displaystyle (a,b)} y {\displaystyle (c,d)} {\displaystyle (c,d)} puedan ser asociados al mismo número entero si:
(1) {\displaystyle ~a-b=c-d} {\displaystyle ~a-b=c-d}.
El único problema es que la ecuación (1) no está definida en {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb{N} cuando {\displaystyle a<b} {\displaystyle a<b}. Pero esto se remedia fácilmente, al notar que
{\displaystyle ~a-b=c-d} {\displaystyle ~a-b=c-d} equivale a {\displaystyle ~a+d=b+c} {\displaystyle ~a+d=b+c}
Ciertamente {\displaystyle a+b\in \mathbb {N} } {\displaystyle a+b\in \mathbb {N} } para cualesquiera {\displaystyle a,b\in \mathbb {N} } {\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }, de tal manera que puede definirse una relación {\displaystyle \sim } \sim sobre {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } mediante:
{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad } {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad } si y solo si {\displaystyle ~a+d=b+c} {\displaystyle ~a+d=b+c}
La relación {\displaystyle \sim } \sim es una relación de equivalencia que produce en {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:
{\displaystyle ~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3} {\displaystyle ~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3}
Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:
{\displaystyle {\begin{cases}~[(n,0)]=n\\~[(0,n)]=-n\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} } {\displaystyle {\begin{cases}~[(n,0)]=n\\~[(0,n)]=-n\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces es una decisión completamente arbitrar
los numeros enteros pueden ser consideradasuna extension de numeros naturalez y subconjuntos