En unas vacaciones una familia decide descansar temporalmente en cada una de las siguientes ciudades: Cartagena, Barranquilla y Santa Marta. En hoteles, por día la familia para (en dólares) $70 en Cartagena, $76 en Barranquilla y $60 en Santa Marta. En comidas, por día, gastó $40 en Cartagena, $30 en Barranquilla y $40 en Santa Marta. Además en helados, comidas rápidas, y bebidas gasta $10 en las tres ciudades. Al final el balance de cuentas muestra que gastó $1316 en hoteles, $700 en comidas, $190 en helados y comidas rápidas.
a) Plantee el sistema de ecuaciones respectivo para la solución de este problema.
b) Calcule el número de días que pasó la familia en cada una de las ciudades.
Respuestas
Vamos por partes...
Primero diremos lo siguiente:
C = Días que la familia pasó en Cartagena
B = Días que la familia pasó en Barranquilla
S = Días que la familia pasó en Santa Marta
Ahora bien... Nos indican que "En hoteles, por día la familia paga $70 en Cartagena, $76 en Barranquilla y $60 en Santa Marta (...) Al final el balance de cuentas muestra que la familia gastó $1316 en hoteles..."
70C + 76B + 60S = 1.316
"En comidas, por día, la familia gastó $40 en Cartagena, $30 en Barranquilla y $40 en Santa Marta (...) Al final el balance de cuentas muestra que gastó $700 en comidas ..."
40C + 30B + 40S = 700
"Además en helados, comidas rápidas, y bebidas gasta $10 en las tres ciudades. Al final el balance de cuentas muestra que la familia gastó $190 en helados y comidas rápidas"
10C + 10B + 10S = 190
Así tenemos planteado nuestro sistema de ecuaciones que dará solución al problema y ahora solo debemos resolverlo para hallar el número de días que pasó la familia en cada una de las ciudades.
70C + 76B + 60S = 1.316 (1)
40C + 30B + 40S = 700 (2)
10C + 10B + 10S = 190 (3)
Despejaremos el valor de C en la tercera ecuación (3):
10C + 10B + 10S = 190
10(C + B + S) = 190
C + B + S = 190 ÷ 10
C + B + S = 19
C = 19 - B - S
Ahora, reemplazamos este valor en la segunda ecuación (2):
40C + 30B + 40S = 700
40(19 - B - S) + 30B + 40S = 700
760 - 40B - 40S + 30B + 40S = 700
760 - 40B + 30B = 700
- 10B = 700 - 760
- 10B = - 60
B = 6
Reemplazando el valor de C y el valor de B en la primera ecuación (1), tenemos lo siguiente:
70(19 - B - S) + 76(6) + 60S = 1.316
1.330 - 70B - 70S + 456 + 60S = 1.316
1.330 - 70(6) - 70S + 456 + 60S = 1.316
1.330 - 420 - 70S + 456 + 60S = 1.316
- 10S = 1.316 - 1.330 + 420 - 456
- 10S = - 50
S = 5
Y finalmente...
C = 19 - B - S
C = 19 - (6) - (5)
C = 8
∴ La familia pasó 8 días en Cartagena, 6 días en Barranquilla y 5 días en Santa Marta.
Espero que sea de ayuda!