calcula el área de un cuadrado que tiene una diagonal de 6 cm ¿es cierto que si la diagonal se puplica el perímetro se duplicara?¿y el área?
Respuestas
área de un cuadrado de lado n
A = n² donde n es la longitud del lado del cuadrado, ahora
por teorema de pitagoras
d² = n² + n² ⇒ d² = 2n² ⇒ n² = d²/2 donde d es la longitud de la diagonal, por lo tanto el área es:
A = d²/2 = (6cm)²/2 = 36cm²/2 = 18cm²
¿es cierto que si la diagonal se duplica el perímetro se duplicara?
el perímetro de un cuadrado de lado N es:
Per. = N + N + N + N= 4N la relación entre el lado N y la diagonal D es
N² = D²/2
por lo tanto N = D/√2 en consecuencia Per.= 4D/√2
si la diagonal de duplica, es decir D=2d entonces Per.=4(2d)/√2
Per. = 2(4d/√2) el perímetro también se duplicara.
Para nuestro caso
n = 6cm/√2 ≅ 4,24 cm si se duplica d N = 12cm/√2 ≅ 8,48 cm
Per. = 4n ≅ 16,96 cm Per. = 4N ≅ 33,92 cm
si nuestra diagonal pasa de 6cm a 12cm nuestro perímetro pasa de 16,96cm
a 2*16,96cm = 33,92cm , es decir que si es verdad que si se duplica la diagonal se duplicara el perímetro
si la diagonal se duplica el ¿área también?
A = D²/2 si D=2d entonces A = (2d)²/2 = 4(d²/2)
si la diagonal se duplica el área se cuadruplica, para nuestro cuadrado de diagonal de 6cm seria
A = (12cm)²/2 = 144cm²/2 = 72 cm²
72 cm² = 4*18 cm² se observa que la nueva área es cuatro veces el área original, por lo tanto es falso que si se duplica la diagonal se duplicara el área.