Question

Resuelve la ecuación de Bernoulli xdy/dx -(1 x)y=xy^2

Answer 1

RESPUESTA:

Recordemos que para resolver una ecuación de Bernoulli hay que llevarla a la siguiente forma.

y' + p(x)·y = q(x)· yⁿ

Entonces, tenemos que:

xy'-(1 x)·y=xy²

Dividimos la expresión entre x, tenemos:

y' - [(1+x)/x]·y = y²

Sabemos que n = 2, aplicamos el cambio de Bernoulli.

z = y¹⁻ⁿ ∴ z =y¹⁻² ∴ z = y⁻¹ por tanto y = z⁻¹ ∴ y' = -z⁻²·z'

Procedemos a sustituir el cambio, tenemos:

-z⁻² - [(1+x)/x]·z⁻¹ = (z⁻¹)²

-z⁻² - [(1+x)/x]·z⁻¹ = z⁻²

Ahora multiplicamos toda la expresión por -z², tenemos:

z' + [(1+x)/x] ·z = 1 → Ecuación lineal

Ahora de la ecuación anterior podemos definir que:

p(x) = [(1+x)/x]

q(x) = 1

Para resolver esto debemos aplicar la ecuación siguiente:

yμ = ∫qμ dx

Por definición tenemos que:

μ = e^(∫p(x)dx)

Resolvemos ahora ∫p(x)dx, tenemos

∫p(x)dx = ∫(1+x)/x dx

I = ∫1/x + 1 dx

I = ln(x) + x

Sustituimos y tenemos:

μ = e^(ln(x)+x)

μ = x·eˣ

Ahora sustituimos en nuestra ecuación y tenemos que:

z·x·eˣ = ∫1·x·eˣ dx

Volvemos a resolver nuestra integral:

∫x·eˣ dx = eˣ·(x-1)

Tenemos nuestra igualdad, es decir:

z·x·eˣ = eˣ(x-1) + C

Despejamos el valor de z, tenemos:

z = [eˣ(x-1) + C]/(xeˣ)

Finalmente sabemos que z = y⁻¹, debido a nuestro cambio inicial, entonces:

y⁻¹ = [eˣ(x-1) + C]/(xeˣ)

Finalmente nuestra solución será:

y = xeˣ/(eˣ(x-1) + C) → Solución a nuestra ecuación diferencial.