Question

Por favor necesito ayuda con esta ecuación diferencial por factor integrante:

Si U = $x^{ \alpha } y^{ \beta }$

Encuentre el valor de $\alpha$ y de $\beta$

Luego solucione:
(8y+4$x^{2}y^{4}$)dx + (8x$x^{3}y^{3}$)dy = 0

Answer 1

Suponiendo que la ecuacion diferencial es: $(8y+4x^2y^4)dx+(8x^3y^3)dy=0$

Se multiplica por el factor integrante que ya es proporcionado:

$[x^{\alpha}y^{\beta}][(8y+4x^2y^4)dx+(8x^3y^3)dy]=0[x^{\alpha}y^{\beta}]$

desarrollamos para encontrar los valores de alpha y beta:

$(8x^{\alpha}y^{\beta+1}+4x^{\alpha+2}y^{\beta+4})dx+(8x^{\alpha+3}y^{\beta+3})dy=0\\Se\ debe\ cumplir:\\ \\\frac{\partial{(8x^{\alpha}y^{\beta+1}+4x^{\alpha+2}y^{\beta+4})}}{\partial{y}}=\frac{\partial{(8x^{\alpha+3}y^{\beta+3})}}{\partial{x}}$

$8(\beta+1)x^{\alpha}y^{\beta}+4(\beta+4)x^{\alpha+2}y^{\beta+3}=8(\alpha+3)x^{\alpha+2}y^{\beta+3}$

buscamos la igualdad de los coeficientes:

$Coeficientes\ de\ \qquad x^{\alpha}y^{\beta}:\\8(\beta+1)=0 \qquad \therefore \qquad \beta=-1\\ \\Coeficientes\ de\ \qquad x^{\alpha+2}y^{\beta+3}:\\4(\beta+4)=8(\alpha+3)\\ \beta+4=2(\alpha+3)\\ \alpha=\frac{\beta-2}{2}\qquad \therefore \qquad \alpha=-\frac{3}{2}$

$U=x^{\alpha}y^{\beta}=x^{-\frac{3}{2}}y^{-1}$

La ecuacion diferencial entonces sera exacta al multiplicarla por U, obtendremos como resultado de dicha multiplicacion:

$(8x^{-\frac{3}{2}}+4x^{\frac{1}{2}}y^3)dx+(8x^{\frac{3}{2}}y^2)dy=0$

Ahora se procede a resolverla, integramos el factor que multiplica a dx con respecto a x:

$F(x,y)=\int{(8x^{-\frac{3}{2}}+4x^{\frac{1}{2}}y^3) \,dx \\ \\=8(-2x^{-\frac{1}{2}})+4(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})y^3+g(y)\\ \\=\frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}}y^3-16x^{-\frac{1}{2}}+g(y)$

Ahora la derivada parcial con respecto a y del resultado anterior debe ser igual al factor que multiplica a dy en nuestra ecuacion exacta:

$8x^{\frac{3}{2}}y^2=\frac{\partial{F}}{\partial{y}}=\frac{\partial{(\frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}}y^3-16x^{-\frac{1}{2}}+g(y))}}{\partial{y}}\\ \\8x^{\frac{3}{2}}y^2=8x^{\frac{3}{2}}y^2+\frac{dg(y)}{dy}\\ \\\frac{dg(y)}{dy}=0 \qquad \therefore \qquad g(y)=constante=c$

La soucion final es entonces:

$\frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}}y^3-16x^{-\frac{1}{2}}=c$