Question

Alguien ayuda porfavor
La suma de tres números consecutivos es un cuadrado perfecto.
¿Cuantos valores puede tomar él menor de estos tres números consecutivos?

Answer 1

La ecuación que representará ese enunciado será así:

Tenemos el número "x" que será el menor de los tres consecutivos con lo que los otros dos serán "x+1" y "x+2", ok?

Sumando esos tres números me dice que sale un cuadrado perfecto que será otro número distinto elevado al cuadrado y que llamaré "y² ". Planteo la ecuación y despejo la "x":

$x + x+1 + x+2 = y^2\\\\\\3x=y^2-3\\\\\\x=\dfrac{y^2-3}{3}\\\\\\x=\dfrac{y^2}{3}-\dfrac{3}{3}\\\\\\x=\dfrac{y^2}{3}-1$

Con ese resultado final ahora hay que dar valores a "y" de modo que al elevarlo al cuadrado y luego dividirlo por 3, debe salir un número entero al cual se le restará 1 (todo según esa expresión final)

Pero como hablamos de números enteros (sin decimales) hay que fijarse en que en el numerador de la fracción (y²) debe salir un múltiplo de 3 forzosamente ya que, si no fuera así, el resultado de operar esa fracción saldría decimal y al restarle el 1 del final seguiría siendo un resultado decimal.

Según ese razonamiento, el valor que le demos a "y" debe ser un múltiplo de 3 para que al final de las operaciones tengamos un número entero que obviamente será válido para lo que buscamos.  Veamos qué pasa sobre la práctica...

Si doy valor "1" a "y", tengo esto:  $x=\dfrac{1^2}{3}+1$

Ahí ya puedo darme cuenta de que el resultado no es un número entero. Si usara el valor 2 para la "y" tendría lo mismo ya que la fracción sería 2/3, así que no me queda otra que buscar múltiplos de 3.

Si empiezo con el 3 tengo esto: $x=\dfrac{3^2}{3}-1=\dfrac{9}{3}-1= 2$

Y si comprobamos ese resultado vemos que sí nos vale ya que tomando el 2 como el menor número, sus consecutivos son el 3 y el 4 y se cumple que (2+3+4) = 9  que es cuadrado de 3

Si tomo el siguiente múltiplo de 3 que es el 6, me sale esto:

$x=\dfrac{6^2}{3}-1=\dfrac{36}{3}-1= 11$

Y tomando ese "11" como menor de los consecutivos compruebo y me sale lo siguiente:

(11+12+13) = 36 que es el cuadrado de 6

La respuesta a la pregunta del ejercicio es que el menor de los números puede tomar infinitos valores pero siempre que se ajusten a la fórmula 3n, (siendo "n" la sucesión de números naturales) es decir, todos los múltiplos de 3.

Saludos.