Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. 9x^2+4y^2=36

Respuestas

Respuesta dada por: henry68
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Para identificar el tipo de cónica dada una ecuación general, se puede realizar por el método: 1) Discriminante que se maneja en la ecuación general para los trinomios  B² - 4 AC

B² - 4AC  es igual a cero = 0  es una parábola.
B² - 4AC es negativo < 0 es una elipse.
B2 - 4AC es positiva > 0 es una hipérbola.

La ecuación general para las conicas es:
 
                         AX² + BXY + CY² + DX + EY + F = 0 
Comparemos esta ecuación con la que nos plantea el problema

                         9x² + 4y² = 36   
                          A       C          no tiene B
Sustituyamos los valores en el discriminante:

B² - 4 AC
0   - 4 (9) (4) =   Aplicamos la ley de los signos
       - 36 (4) = - 144 Nuestro valor obtenido es negativo, por lo tanto, la ecuación 9x² + 4y² = 36, se trata de una ELIPSE

Es  una elipse con centro en el origen, su fórmula ordinaria o canónica es:
Elipse horizontal                 Elipse Vertical
     x²  +  y²  = 1                    x²   y²   = 1   
     a²      b²                           b²       a²

Resolver la cuestion:

El resultado lo tengo que igualar a 1, en este caso es 36, lo cual dividirá a cada uno de los términos al otro lado de la igualdad
                 9x²   +    4y²   =  36  
                 36          36        36

              9x²    +    4y²    = 1
              36           36
Los coeficientes 9 y 4  los pasamos como denominadores, con el propósito de tener solo las letras (x y) para igualarlo a la fórmula:

        x²     +     y²     = 1 
        36           36 
         9             4    
Simplificamos las fracciones para obtener nuestros valores.
36 ÷ 9 = 4
36 ÷ 4 = 9
La ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen, queda de la siguiente forma:

                 x²    +    y²   = 1
                4             9
   Como el numero mayor esta en el vértice Y ,  se trata de una elipse vertical con centro en el origen, por lo tanto  a esta en el vértice Y

a² = 9 Despejamos el exponente, pasa al otro lado de la igualdad como raíz cuadrada:
a² = 9 ⇒ a = √9 ⇒ 3 ⇒  a = 3
b² = 4 ⇒ b = √4 ⇒ 2 ⇒ b = 2
c² = a² - b² ⇒ 3² - 2² ⇒ 9 - 4 = 5
c² = 5 ⇒ c = √5 = 2.23 ⇒ c = 2.23

Vértices:
Vértice del eje mayor:
V₁ (0, a)  V₂ (0, - a)
V₁ (0, 3)  V₂ (0, - 3)

Extremos del eje menor
B₁ (b, 0)  B₂ (-b, 0)
B₁ (2, 0)  B₂ (-2, 0)

Focos
F₁ (0, c)        F₂ (0, -c)
F₁ (0, 2.23)    F₂ (0, - 2.23) Si manejas radicales quedarian así :
F₁ (0, √5)       F₂ (0, - √5)
         
Longitud del eje mayor  2(a) ⇒ 2(3) = 6 unidades.
Longitud del eje menor   2(b) ⇒ 2(2) = 4 unidades.
Longitud del eje focal     2(c) ⇒ 2(2.23) = 4.46 Unidades. 
  o con radicales                   ⇒ 2(√5) = 4.46 Unidades

Excentricidad   e =   c   =  2.23  o con radicales ⇒       √5      
                               a         3                                       3

Longitud de los lados rectos

LR =   2b²   ⇒    2(2)²   ⇒   2(4)    8  
           a              3              3         3

8/3 = 2.66  cada lado recto de la elipse abrira 1.33


Anónimo: Doy mi voto a esta respuesta que dio henry68 pues es excelente explicación sobre la elipse, espero que él que pregunto la escoja como la mejor si obligarlo, sino por el contrario, si le ayudo bastante por eso hago esa recomendación.
Herminio: Coincido con el comentario de Maoprofe. Saludos
henry68: Muchas gracias a ambos. Es un reto para subir respuestas con información precisa a fin de que los participantes puedan aprender y resolver ejercicios con diferentes métodos aplicados a sus materias
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