Respuestas
El proceso es un tanto extenso. Voy a resumir los cálculos.
Buscamos la ecuación de la recta tangente que pasa por un punto y pendiente m
Se intercepta la recta con la semicircunferencia. Resulta una ecuación de segundo grado.
Se exige que la ecuación tenga una sola raíz. De este concepto surge que el discriminante de la ecuación deberá ser nulo. De acá se obtienen dos valores para la pendiente. Se usará el que corresponda con la semicircunferencia.
Para hallar las coordenadas del punto de tangencia se resuelve el sistema formado por la recta tangente y la ecuación de la circunferencia.
1) Recta tangente por el punto (3, 3): y - 3 = m (x - 3)
O bien y = m (x - 3) + 3
Formamos el sistema:
x² + y² - 4 = 0; y = m (x - 3) + 3
Reemplazamos:
x² + [m (x - 3) + 3]² - 4 = 0; quitamos paréntesis y ordenamos por potencias de x:
x² (m² + 1) + 6 m x (1 - m) + 9 m² - 18 m + 5 = 0
Anulamos el discriminante de la ecuación.
(6 m - 6 m²)² - 4 (m² + 1) (9 m² - 18 m + 5) = 0
Quitamos paréntesis y reducimos términos semejantes.
Resulta 20 m² - 72 m + 20 = 0
Resolvemos para m.
m = (9 - 2 √14) / 5; m = (9 + 2 √14) / 5
Hay dos valores porque un circunferencia tiene dos rectas tangentes desde un punto exterior
Se toma m (9 - 2 √14) / 5 ≈ 0,30333
Ecuación de la recta tangente: y - 3 = 0,30333 (x - 3)
Si formamos el sistema de ecuaciones con la recta y la circunferencia y se obtiene:
x ≈ - 0,5806; y = 1,9138
Se adjunta gráfico con la solución.
Saludos Herminio
