la suma de los 18 terminos de una progresion aritmetica es 549 y el producto de los terminos extremos ( el primero y el ultimo ) es 280. calcula la diferencia de la progresion y el valor de esos extremos
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La suma de los 18 términos de una progresión aritmética es 549 y el producto de los términos extremos ( el primero y el ultimo ) es 280. calcula la diferencia de la progresión y el valor de esos extremos.
Hola!!!
Antes de comenzar debemos conocer las Ecuaciones que relacionan a una Progresión Aritmética:
Suma: Sₓ = [x×(a₁ + aₓ)] /2 = [2a₁ + (x - 1)×d] /2
Miembro x de la P.A: aₓ = a₁ + (x - 1)×d
Segun el enunciado la Progresion tiene 18 terminos;
S₁₈ = 549
El producto de los términos extremos:
a₁×aₓ = 280 ⇒ aₓ = 280/a₁ ⇒ a₁₈ = 280/a₁
Sₓ = [x×(a₁ + aₓ)] /2
S₁₈ = [18(a₁ + a₁₈)] /2
549×2 = 18(a₁ + 280/a₁)
1098 = 18a₁ + 5040/a₁
1098 = (18a₁×a₁ + 5040)/a₁
1098×a₁ = 18a₁² + 5040
18₁² - 1098a₁ + 5040 = 0
Resolvemos con la Fórmula General para ecuaciones de segundo Grado:
x = (-b +-√b²-4×a×c) /2×a
a = 18 ; b = -1098 ; c = 5040
a₁ = (1098+-√(-1098)²-4×18×5040) /2×18
a₁ = (1098+-√842724) /36
a₁ = (1098+-918) /36 ⇒
a₁ = (1098 + 918) /36
a₁ = 56
a₁₍₂₎ = (1098 - 918) /36
a₁₍₂₎ = 5 Tomo el menor valor
a₁ = 5 = PRIMER TERMINO
Término a18 = 280/a₁ ⇒ a₁₈ = 280/5 ⇒
a₁₈ = 56 = ULTIMO TERMINO
Sabemos que: aₓ = a₁ + (x - 1)×d
a₁₈ = a₁ + (18 - 1)×d
56 = 5 + 17d
56 - 5 = 17d
51 = 17d
d = 51/17
d = 3 Diferencia de la Progresión
Verifico:
d = 3 ⇒ La progresión quedaría así:
a₁ ; a₂ ;a₃ ;a₄ ;a₅ ;a₆ ; a₇ ; a₈ ; a₉ ; a₁₀ ;a₁₁ ; a₁₂ ; a₁₃ ; a₁₄ ; a₁₅ ;a₁₆ ; a₁₇ ; a₁₈
5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; 23 ; 26 ; 29 ; 32 ; 35 ; 38 ; 41 ; 44 ; 47 ; 50 ; 53 ; 56
Espero haber ayudado!!!
Saludos!!!
Respuesta:
ESPERO QUE TE AYUDE Y CALIFICA COMO LA MEJOR RESPUESTA
Explicación paso a paso:
La suma de los 18 términos de una progresión aritmética es 549 y el producto de los términos extremos ( el primero y el ultimo ) es 280. calcula la diferencia de la progresión y el valor de esos extremos.
Antes de comenzar debemos conocer las Ecuaciones que relacionan a una Progresión Aritmética:
Suma: Sₓ = [x×(a₁ + aₓ)] /2 = [2a₁ + (x - 1)×d] /2
Miembro x de la P.A: aₓ = a₁ + (x - 1)×d
Segun el enunciado la Progresion tiene 18 terminos;
S₁₈ = 549
El producto de los términos extremos:
a₁×aₓ = 280 ⇒ aₓ = 280/a₁ ⇒ a₁₈ = 280/a₁
Sₓ = [x×(a₁ + aₓ)] /2
S₁₈ = [18(a₁ + a₁₈)] /2
549×2 = 18(a₁ + 280/a₁)
1098 = 18a₁ + 5040/a₁
1098 = (18a₁×a₁ + 5040)/a₁
1098×a₁ = 18a₁² + 5040
18₁² - 1098a₁ + 5040 = 0
Resolvemos con la Fórmula General para ecuaciones de segundo Grado:
x = (-b +-√b²-4×a×c) /2×a
a = 18 ; b = -1098 ; c = 5040
a₁ = (1098+-√(-1098)²-4×18×5040) /2×18
a₁ = (1098+-√842724) /36
a₁ = (1098+-918) /36 ⇒
a₁ = (1098 + 918) /36
a₁ = 56
a₁₍₂₎ = (1098 - 918) /36
a₁₍₂₎ = 5 Tomo el menor valor
a₁ = 5 = PRIMER TERMINO
Término a18 = 280/a₁ ⇒ a₁₈ = 280/5 ⇒
a₁₈ = 56 = ULTIMO TERMINO
Sabemos que: aₓ = a₁ + (x - 1)×d
a₁₈ = a₁ + (18 - 1)×d
56 = 5 + 17d
56 - 5 = 17d
51 = 17d
d = 51/17
d = 3 Diferencia de la Progresión
Verifico:
d = 3 ⇒ La progresión quedaría así:
a₁ ; a₂ ;a₃ ;a₄ ;a₅ ;a₆ ; a₇ ; a₈ ; a₉ ; a₁₀ ;a₁₁ ; a₁₂ ; a₁₃ ; a₁₄ ; a₁₅ ;a₁₆ ; a₁₇ ; a₁₈
5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; 23 ; 26 ; 29 ; 32 ; 35 ; 38 ; 41 ; 44 ; 47 ; 50 ; 53 ; 56