Question

El dueño de una fábrica de sillas para oficina sabe por experiencias pasadas que si vende
cada silla a y (en unidades de diez mil pesos), el número de sillas que venderá semanalmente
será de x=20-y unidades. Entonces, su ingreso total semanal será I= xy= x(20-x), en diez mil
pesos. El costo de producir x sillas semanales está dado por la fórmula C= 25 + 2x. ¿A qué
precio se deben vender las sillas para asegurar una utilidad de $320000?

Answer 1

El dueño de una fábrica de sillas para oficina sabe por experiencias pasadas que si vende  cada silla a " y " (en unidades de diez mil pesos), el número de sillas que venderá semanalmente  será de x = 20 -y unidades. Entonces, su ingreso total semanal será I = xy = x(20 -x), (en unidades de diez mil pesos). El costo de producir " x " sillas semanales está dado por la fórmula C(x) = 25 + 2x.

¿A qué  precio se deben vender las sillas para asegurar una utilidad de $320000?

Hola!!!

Sabemos que la Ecuación de Ingresos esta dada por:

Ingreso = Precio de venta × Cantidad

I(x) = X×y = X(20 - X)

I(x) = -X² + 20X        Ecuación del INGRESO

Ecuación del Costo: Costo Fijo + Costo Unitario × Cantidad

C(x) = CF + CU× X

C(x) = 25 + 2x        Ecuación del COSTO

La Ecuación de la Utilidad = Ingresos - Costos

U(x) = I(x) - C(x)

U(x) = -x² + 20x - (25 + 2x)

U(x) = -x² + 20x -25 - 2x

U(x) = -x² + 18x - 25     Ecuación de la UTILIDAD

Utilidad de $ 320000 ⇒  320000/10000 = 32

32 = -x² + 18x - 25

-x² + 18x -25 -32

-x² + 18x -57 = 0    

Resolvemos por Fórmula General: (-b+-√b²-4×a×c)/2×a

x₁ = 4

x₂ = 14  ⇒

Vendiendo mas de 4 sillas y menos de 14 asegura una Utilidad de por menos $ 320.000

U(x) = -x² + 18x - 25      El Máximo es el Vértice de la Parábola

x = -b/2×a

x = -18/2×(-1)  ⇒

x = 9   ⇒  Con la Venta de 9 Sillas obtiene la Mayor Utilidad

U(x) = -9² + 18(9) - 25  

U(x) = 56       Maxima Utilidad ( $ 56000 )

Verificamos con el gráfico (ver archivo adjunto)

Saludos!!!