Question

Si a y b son dos enteros positivos con máximo común divisor 3 y a/b=.4,¿cuanto vale ab?

Answer 1

El Máximo Común Dividor (MCD) de dos números es el mayor divisor común a ambos números, es decir, es el mayor número que los divide exactamente.

Por otro lado, del algoritmo de Euclides utilizado para resolver el MCD que expresa que el MCD de dos números a y b también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño, se desprenden dos proposiciones:

1-  MCD (a,0) = a

2..  MCD (a,b) = MCD (b, a mod b),

     donde a mod b es el resto de la división de a entre b

Entonces de los datos del problema tenemos:

MCD (a,b) = 3;     (1)

a/b = 4;     (2)  ⇒   a mod b = 0;    (3)   (el resto del cociente a/b es cero)

Entonces empleando las proposiciones se tiene que:

MCD (a,b) = 3 = MCD (b, a mod b)  y por (2) sabemos que a mod b =0

⇒ MCD (b, a mod b) = MCD (b,0) =   b  = 3     ∴   b = 3

Reemplazando b en (2):

a/b =4     ⇒ a = 4b = 4*3 = 12         ∴     a = 12

Entonces el producto de a por b,   ab = 3*12 = 36       ∴      ab = 36

A tu orden...