Question

Se tiene una placa metálica de 1 m2 a la cual se le ejerce presión dependiente únicamente de la longitud x de un lado de la placa. De acuerdo con lo anterior, la presión sobre una franja de grosor dx viene dada por:

$dP= (x-x^2)e^x dx$

por lo que la presion total de la placa estara dada por la siguiente integral.
$P = \int\limits^1_0 (x-x^2)e^x dx$

calcula la presion de la placa

Answer 1

Hola ,

tienes que tener clara la integración por partes :

$\int\limits^a_b {u(x)v'(x)} \, dx = u*v |_{a}^{b} - \int\limits^a_b {u'v} \, dx$

Reescribiendo :

$\int\limits^1_0 {e^{x}x } \, dx - \int\limits^1_0 {e^{x}x^{2}} \, dx$

Ahora esas integrales se hacen por parte , para la primera integral :

$\int\limits^1_0 {e^{x}x} \, dx \\ \\ u = x \ \ \ \ dv = e^{x}dx \\ \\ du = dx \ \ \ \ v = e^{x} \\ \\ \int\limits^1_0 {e^{x}x}\,dx = xe^{x}|_{0}^{1} - \int\limits^1_0 {e^{x}} \, dx \\ \\ \int\limits^1_0 {e^{x}x}\,dx = xe^{x}|_{0}^{1} - e^{x}|_{0}^{1} \\ \\ Evaluando: \\ \\ \int\limits^1_0 {e^{x}x}\,dx = 1$


La segunda integral es haciendo lo mismo :

$\int\limits^1_0 {x^{2}e^{x}} \, dx \\ \\ u = x^{2} \ \ \ \ dv = e^{x}dx \\ du = 2xdx \ \ \ \ v = e^{x} \\ \\ \int\limits^1_0 {x^{2}e^{x}} \, dx = x^{2}e^{x}|_{0}^{1} - 2\int\limits^1_0 {xe^{x}} \, dx \\ \\ Evaluando \ , y \ sabiendo \ el\ valor \ de \ la \ integral \ que \ aparece : \\ \\ \int\limits^1_0 {x^{2}e^{x}} \, dx = e - 2$

Por lo tanto , el resultado final es :

$\int\limits^1_0 {e^{x}(x-x^{2})} \, dx = 1 - ( e - 2) \\ \\ \int\limits^1_0 {e^{x}(x-x^{2})} \, dx = 3 - e$

Despues uno le toma la mano a las integrales por partes y no coloca u = .. ni dv = .. , pero si estas comenzando a hacer este tipo de intregales siempre es bueno colocarlo.

Por lo tanto , la presión de la placa es :

P = 3 - e  


Saludos.