Question

Calcula las integrales 
$\int$ -2Csc^2 (Sen(2x)) Cot(Sen(2x)) Cos(2x) dx
$\int$ e^2x Cos(3x)dx

(se aprecia mejor en la imagen de abajo)

Answer 1

1)

$\int\ -2Csc^2 (Sen(2x)) Cot(Sen(2x)) Cos(2x) \, dx \\ \\ = -2\int\ \frac{1}{sen^{2}(sen2x)} * \frac{cos(sen(2x))}{sen(sen(2x))} Cos(2x) \, dx \\ \\ = -2\int\ \frac{cos(sen(2x))}{sen^{3}(sen2x)} Cos(2x) \, dx \\ \\ Haciendo\ el \ cambio\ : \\ \\ z = sen(sen(2x)) \\ \\ dz = cos(sen(2x))*cos(2x)*2dx \\ \\ -\int\ \ z^{-3} \, dz = \frac{1}{2z^{2}} + C \\ \\ Volviendo \ a \ la \ variable: \\ \\ \int\ -2Csc^2 (Sen(2x)) Cot(Sen(2x)) Cos(2x) \, dx = \frac{1}{2sen^{2}(sen(2x)} + C$

2) Esta es una integral cíclica que sale por partes :

$I = \int\ e^{2x}cos(3x) \, dx \\ \\ u = e^{2x} \ \ \ \ dv = cos(3x)dx \\ \\ du = 2e^{2x}dx \ \ \ \ v = \frac{sen(3x)}{3} \\ \\ Integrando \ por \ partes : \\ I = e^{2x}* \frac{sen(3x)}{3} - \frac{2}{3} \int\ e^{2x}*sen(3x) \, dx \ \ \ \ \ \ \ [ * ] \\ \\ Ahora \ nuevamente\ se \ integra \ por \ partes: \\ \\ \int\ e^{2x}*sen(3x) \, dx = -e^{2x}* \frac{cos(3x)}{3} + \frac{2}{3} \int\ {e^{2x}*cos(3x)} \, dx \\ \\ \int\ e^{2x}*sen(3x) \, dx = -e^{2x}* \frac{cos(3x)}{3} + \frac{2}{3}I$

Ahora reemplazamos en [ * ]  :

$I = e^{2x}* \frac{sen(3x)}{3} - \frac{2}{3} (-e^{2x}* \frac{cos(3x)}{3} + \frac{2}{3}I) \\ \\ I = \frac{e^{2x}sen(3x)}{3} + \frac{2e^{2x}cos(3x)}{9} - \frac{4}{9}I \\ \\ Despejando \ I : \\ \\ I = \frac{9}{13}[\frac{e^{2x}sen(3x)}{3} + \frac{2e^{2x}cos(3x)}{9}] \\ \\ \int\ e^{2x}*cos(3x)\, dx = \frac{3e^{2x}sen(3x)}{13} + \frac{2e^{2x}cos(3x)}{13} + C$


Saludos.