Question

ayuda con el procedimiento de este ejercicio

Answer 1

Hola!

Al analizar el enunciado tenemos una suma de PG (Progresión Geométrica) Infinita, entonces:

$cos\left(\frac{\pi }{3}\right)+cos^3\left(\frac{\pi }{3}\right)+cos^5\left(\frac{\pi }{3}\right)+cos^7\left(\frac{\pi }{3}\right)+...$

Sabiendo que en una suma de PG infinita, la suma de los términos de una PG infinita se encuentra dentro del intervalo -1 < q < 1  

Para la suma de los términos de una PG Infinita, adoptamos la siguiente fórmula:

$\boxed{S_n = \dfrac{a_1}{1-q}}$

[Primer Paso] Tenemos los siguientes datos para encontrar la razón de la PG, veamos:

$a_1\:(primer\:t\'ermino)= cos\left(\frac{\pi }{3}\right)$

$a_2\:(segundo\:t\'ermino)= cos^3\left(\frac{\pi }{3}\right)$

$q\:(raz\'on) =\:?$

si:

$q = \dfrac{a_2}{a_1}$

$q = \dfrac{cos^3\left(\dfrac{pi}{3}\right)}{cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)}$

cancelamos el factor común $cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)$

así, tendremos

$\cos^2\left(\dfrac{\pi }{3}\right)$

si, $cos\left(\dfrac{pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$

entonces, tenemos

$\cos ^2\left(\dfrac{\pi }{3}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \to \boxed{q = \frac{1}{4}}$

[Segundo Paso} Ahora, aplicamos los datos a la fórmula de la suma de una PG Infinita, tenemos:

$S_n = \dfrac{a_1}{1-q}}$

$S_n = \dfrac{cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)}{1-\dfrac{1}{4} }}$

$S_n = \dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{4-1}{4} }}$

$S_n = \dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{3}{4} }}$

$S_n = \dfrac{1}{2}*\dfrac{4}{3}$

$S_n = \dfrac{4}{6}$

simplificar por 2

$S_n = \dfrac{4}{6}\frac{\div2}{\div2}$

$\boxed{\boxed{S_n = \dfrac{2}{3} }}\end{array}}\qquad\checkmark$

Respuesta:

$e)\:\:\dfrac{2}{3}$

__________________________

¡Espero haberte ayudado, saludos... DexteR! =)