Question

hallar el valor de t para que las rectas sean:
a) paralelas
b)perpendiculares
L1: Y= \frac{7}{3} x +\frac{5}{3} [/tex]
L2: (t+3)x+2=(2t-2)y

Answer 1

a) Paralelas  

Rectas paralelas: dos rectas son paralelas si se encuentran en un plano que no donde no se intersectas, dos rectas paralelas tienen la misma inclinación, es decir, su pendiente es igual.  

Tenemos la primera recta:  

L1: Y= $\frac{7}{3} x +\frac{5}{3}$

y sabemos que las rectas son de la forma y=mx+b, donde m es la pendiente, por lo tanto, la pendiente de L1 es: $\frac{7}{3}$

Ahora para que L2 sea paralela su pendiente debe ser:$\frac{7}{3}$

Desarrollamos L2  

$y= \frac{(t+3)x+2}{2t-2}$

$y= \frac{tx+3x+2}{2t-2}$

Realizamos la división (ver imagen adjunta)

$y= 0.5x+\frac{4x+2}{2t-2}=0.5x+\frac{2(2x+1)}{2(t-1)}= 0.5x+\frac{2x+1}{t-1}$

$y=0.5x+\frac{2x}{t-1}+\frac{1}{t-1}$

Sacamos factor común de x

$y=x*(0.5+\frac{2}{t-1})+\frac{1}{t-1}$

Como queremos que las rectas sean paralelas entonces las pendientes deben ser iguales:

$0.5+\frac{2}{t-1}= \frac{7}{3}$

$\frac{2}{t-1}= \frac{7}{3} -\frac{1}{2} = \frac{14-3}{6} =\frac{11}{6}$

$\frac{2}{t-1}= \frac{11}{6}$

$2= \frac{11}{6}*(t-1)$

$2= \frac{11}{6}*t-\frac{11}{6}$

$2+\frac{11}{6}= \frac{11}{6}*t$

$\frac{12+11}{6}= \frac{11}{6}*t$

$\frac{11}{3}= \frac{11}{6}*t$

$\frac{\frac{11}{3}}{\frac{11}{6}} = t$

$t=\frac{1}{2}$

Para que las rectas sean paralelas t=1/2 =0.5 y la recta sera:

L2: (0.5+3)x+2=2(0.5-2)y

= 3.5x+2= -3y

y= 7/3x-2/3

b) perpendiculares

Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman un angulo de 90°

Si dos rectas son perpendiculares entonces la multiplicación de sus pendientes es -1, es decir, m1*m2=-1, entonces: m1=-1/m2

Por lo tanto la pendiente de la recta que queremos debe ser igual -3/7

Como ya tenemos la pendiente de la recta (en términos de t) entonces sustituimos:

$0.5+\frac{2}{t-1}= \frac{-3}{7}$

$\frac{2}{t-1}= \frac{-3}{7}-\frac{1}{2}$

$\frac{2}{t-1}=\frac{-6-7}{14}$

$\frac{2}{t-1}= \frac{-13}{14}$

$2= \frac{-13}{14}*(t-1)$

$2=\frac{-13}{14}*t+\frac{13}{14})$

$\frac{13}{14}*t= \frac{13}{14}-2=\frac{13-28}{14} =\frac{-15}{14}$

$t=\frac{\frac{-15}{14}}{\frac{13}{14}}= \frac{-15}{13}$

Entonce t debe ser $\frac{-15}{13}$ para que las rectas sean perpendiculares