Si en un cilindro de 8 m de radio y 3 metros de altura añadimos una cierta cantidad al radio se obtendrá el mismo volumen que si se añade esa misma cantidad a la altura. Determina esa cantidad que hace que los volúmenes sean iguales y cuáles son los volúmenes inicial y final del cilindro. b. En una pirámide de base cuadrada, de lado a y altura h, expresa la medida de la arista en función del lado y la altura.
Respuestas
Si en un cilindro de 8 m de radio y 3 metros de altura añadimos una cierta cantidad al radio se obtendrá el mismo volumen que si se añade esa misma cantidad a la altura. Determina esa cantidad que hace que los volúmenes sean iguales y cuáles son los volúmenes inicial y final del cilindro.
B) En una pirámide de base cuadrada, de lado a y altura h, expresa la medida de la arista en función del lado y la altura.
Hola!!!
Sabemos que el Volumen de un Cilindro:
V = π×R²×h
V = π×8²×3
V = 192π
Añadimos al Radio la Cantidad " x " ⇒ Volumen queda dado por:
V = π×(R + x)²×h
V = π×(8 + x)²×3
V = π×(64 + 16x + x²)×3
V = π×(192 + 48x + 3x²) ( i )
Añadimos a la Altura la Cantidad " x " ⇒ Volumen queda dado por:
V = π×R²×(h + x)
V = π×8²×(3 + x)
V = π×64(3 + x)
V = π×(192 + 64x) ( ii )
Para que los Volúmenes sean iguales debemos igualar la ecuación ( i ) = ( ii ):
V = π×(192 + 48x + 3x²) ( i )
V = π×(192 + 64x) ( ii ) ⇒
π×(192 + 48x + 3x²) = π×(192 + 64x) ⇒
48x + 3x² = 64x
3x² = 64x - 48x
3x² = 16x
3x² - 16x = 0
x(3x - 16) = 0 ⇒ Factor Nulo
x = 0 ⇒ No
3x - 16 = 0
x = 16/3 Cantidad hace que los V sean iguales
Verifico:
V = π×(R + x)²×h
V = π×(8 + 16/3)²×3 ⇒
V = 533,3π
V = π×R²×(h + x)
V = π×8²×(3 + 16/3) ⇒
V = π×64×8,3333) ⇒
V = 533,3π Verifica!!!
Volumen inicial del Cilindro: V = 192π
Volumen final del Cilindro: V = 533,3π
B)
Sabemos que la Arista lateral de la pirámide la hallamos por Teorema de Pitágoras (ver archivo gráfico adjunto) y podemos hallar la mitad de la diagonal de la base cuadrada:
1/2 Diagonal del Cuadrado: R = a√2/2
Arista de la Piramide:
b = √h² + a²/2
Espero haber contribuido!!
Saludos!!!
