Respuestas
Un router es un dispositivo que te permite que conecten subredes que sin él no podrían comunicarse por la configuración de la misma.
Por ejemplo, un router de los usados en las casas para conectar a Internet, permite conectar la subred privada del usuario con la subred de la empresa que da acceso a internet.
Además, en el caso de este tipo de routers, suelen tener integrados el modem ADSL en caso de usar par de cobre o el ONT en caso de fibra para conseguir una salida ethernet. También suelen equiparse con puntos de acceso wifi aunque tanto el modem como el ONT o el punto wifi no son parte necesaria de un router.
Respuesta:
El router simplemente proyecta la señal y permite que los dispositivos se conecten. Es importante decir que un router no está conectado a Internet, sino que está conectado al módem.
Un router per se no vale para nada si no hay un módem que le provea de la conexión a Internet.