Respuestas
Datos:
PA = a
QC = b
∠ BPQ = m = ∠ BQP
Sí estos ángulos son iguales significa que los segmentos BP y PQ tienen igual longitud, por lo tanto el segmento buscado PQ es paralelo a la base del triángulo, es decir, al segmento AC, lo que permite concluir que el lado PA = QC = a = b y que el incentro está definido sobre un triángulo acutángulo, es decir, que todos sus ángulos son menores a 90°. De igual manera la bisectriz del vértice B divide al segmento en 2 partes iguales, esto es los segmentos PI = IQ, lo que lleva a afirmar que la longitud del segmento PQ = PI + IQ = PI + PI. Por lo tanto, el segmento buscado PQ = 2PI = 2IP.
PQ = 2PI; (1)
Basado en lo antes expuesto, se anexa un triángulo acutángulo que refleja los ángulos obtenidos según el enunciado.
De aquí podemos decir, aplicando la Ley de Seno sobre el triángulo API, tomando en cuenta los segmentos PI y a:
PI / sen (m/2) = a / sen (s)
Lo que lleva a afirmar que PI = a * sen (m/2) /sen (s)
Y por lo tanto, el segmento buscado PQ, según la ecuación (1) es:
PQ = 2PI = 2a*sen (m/2)/ sen (s);
∴ PQ = 2a*sen (m/2)/ sen (s); (2)
lo cual sería la solución del problema, pero necesitamos determinar el valor del ángulo s, que es uno de los que definen al triángulo API.
Revisando el triángulo API en el gráfico anexo, y apoyándonos en la propiedad de los triángulos que la suma de sus ángulos internos debe resultar en 180° se puede determinar el ángulo s:
Entonces,
s = 180 - m/2 - (90 + n/2) = 90 - m/2 - n/2 (3)
Pero tampoco se conoce a n/2. Para obtener su valor nos apoyamos en el triángulo BIP. De allí se tiene que:
n/2 = 180 - 90 - m = 90 - m ∴ n/2 = 90 - m (4)
Reemplazando resultado (4) en (3), determinamos finalmente al ángulo s:
s = 90 - m/2 - n/2 = 90 - m/2 - (90 - m) = m/2 ∴ s = m/2 (5)
Ahora si podemos obtener el valor del segmento PQ, reemplazando resultado (5) en ec. (2):
PQ = 2a*sen (m/2)/ sen (s) = 2a. sen (m/2) / sen (m/2) = 2a
∴ PQ = 2a
A tu orden...
