Question

¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los polinomios, x4−16, x4+8x2+16, x4−5x2−36?

Answer 1

Respuesta:

El factor común es  (x^2 + 2^2)

Explicación paso a paso:

Factorizamos las tres expresiones:

1ª expresión:

aplicamos igualdades notables, una diferencia de cuadrados, dos veces:

$x^4-16 =x^4-2^{4}=(x^{2} +2^{2} )(x^{2} -2^{2} )=(x^{2} +2^{2} )(x +2)(x -2)$

2ª expresión:

aplicamos igualdades notables, una suma al cuadrado:

$x^4+8x^2+16 = (x^2)^2+2 \cdot x^2\cdot 4 + 4^{2} = (x^{2} +4} )^{2} = (x^{2} +2^{2} } )^{2} = (x^{2} +2^{2} } ) \cdot (x^{2} +2^{2} } )$

3ª expresión:

convertimos en ecuación de segundo grado:

$x^4-5x^2-36=u^2-5u-36 \:\:\:\:siendo\: u=x^{2}$

cuyas soluciones son:

$\quad u_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

siendo en este caso a=1, b= -5, c=-36 y cuya solución es:

$u_{1,2} =\frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot \:1\cdot \left(-36\right)}}{2\cdot \:1}=\frac{5\pm\sqrt{25+4\cdot36}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{169}}{2}=\frac{5\pm13}{2}=+9 , -4$

con lo que:

$x^4-5x^2-36=u^2-5u-36=(u-9)(u+4)=(x^{2} -9)(x^{2} +4)=(x^{2} -3^{2} )(x^{2} +2^{2} )$

Observando la factorización de las tres expresiones, resulta que el factor común es $(x^{2} +2^{2})$