Respuestas
En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).123 De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
Extremos relativos o locales
Sea {\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} } {\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }, sea {\displaystyle x_{0}\in A} {\displaystyle x_{0}\in A} y sea {\displaystyle P=\,(x_{0},f(x_{0}))} {\displaystyle P=\,(x_{0},f(x_{0}))} un punto perteneciente a la gráfica de la función.
Se dice que {\displaystyle P} P es un máximo local de {\displaystyle f} f si existe un entorno reducido de centro {\displaystyle x_{0}} x_{0}, en símbolos {\displaystyle {E'(x_{0})}} {\displaystyle {E'(x_{0})}}, donde para todo elemento {\displaystyle x} x de {\displaystyle E'(x_{0})\subset A} {\displaystyle E'(x_{0})\subset A} se cumple {\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})} {\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse {\displaystyle f(x)<f(x_{0})} {\displaystyle f(x)<f(x_{0})}.
Análogamente se dice que el punto {\displaystyle P} P es un mínimo local de {\displaystyle f} f si existe un entorno reducido de centro {\displaystyle x_{0}} x_{0}, en símbolos {\displaystyle {E'(x_{0})}} {\displaystyle {E'(x_{0})}}, donde para todo elemento {\displaystyle x} x de {\displaystyle {E'(x_{0})}} {\displaystyle {E'(x_{0})}} se cumple {\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})} {\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})}.
Extremos absolutos o globales
Sea {\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{n}\longmapsto \mathbb {R} } {\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{n}\longmapsto \mathbb {R} }, sea {\displaystyle x_{0}\in A} {\displaystyle x_{0}\in A} y sea {\displaystyle P=\,(x_{0},f(x_{0}))} {\displaystyle P=\,(x_{0},f(x_{0}))} un punto perteneciente a la gráfica de la función.
Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de {\displaystyle x_{0}} x_{0} pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de {\displaystyle x_{0}} x_{0}. Esto es:
{\displaystyle P\,(x_{0},f(x_{0}))} {\displaystyle P\,(x_{0},f(x_{0}))} máximo absoluto de {\displaystyle f\iff \forall x\neq x_{0},x\in A,f(x_{0})\geq f(x)} {\displaystyle f\iff \forall x\neq x_{0},x\in A,f(x_{0})\geq f(x)}.
Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de {\displaystyle x_{0}} x_{0} perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de {\displaystyle x_{0}} x_{0}. Esto es:
{\displaystyle P\,(x_{0},f(x_{0}))} {\displaystyle P\,(x_{0},f(x_{0}))} mínimo absoluto de {\displaystyle f\iff \forall x\neq x_{0},x\in A,f(x_{0})\leq f(x)} {\displaystyle f\iff \forall x\neq x_{0},x\in A,f(x_{0})\leq f(x)}.