Question

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas. Se desea colocar un satélite artificial en órbita, supongamos que el movimiento elíptico del satélite tiene sus vértices en V1 (0 ,-8) , V2 (0 ,8) y las coordenadas de los extremos del semieje menor son B1 (-6 ,0) , B2 (6 ,0)

Determina:
A) La ecuación ordinaria de la elipse que representa la trayectoria del movimiento del satélite
B) Transforma la ecuación ordinaria a la ecuación general de la elipse
C) La longitud del semieje mayor
D) La longitud del semieje menor
E) La longitud del semieje focal
F) Las coordenadas de los focos
G) Traza la gráfica correspondiente

Un Litotriptor para desintegrar cálculos renales por medio de ondas de choque tiene su centro en el punto C(1,-3), su foco en F1(-2,-3) y semieje menor igual a 4 unidades.

Determina:


A) La ecuación ordinaria de la elipse que sirve para generar el Litotriptor
B) Transforma la ecuación ordinaria a la ecuación general de la elipse
C) La longitud del semieje mayor
D) La longitud del semieje menor
E) La longitud del semieje focal
F) Las coordenadas de los vértices
G) Traza la gráfica correspondiente

Answer 1

Ejercicio 1) Satélite artificial

Se trata de una elipse vertical con centro en el origen.

a = 8 (Vértices) b = 6 (Vértices del semieje menor) 
para obtener c = los focos es con el teorema de Pitagoras:
c² = a² - b²
c² = 8² - 6²
c² = 64 - 36
c² = 28
c = √28 = 5.291          descomponer en factores primos
                    28   tiene 2da   2
                    14   tiene 2da   2
                      7   tiene 7ma. 7
                      1
c = √2² · 7    Anulas el indice con la potencia al cuadrado y queda así:
c = 2√7 = 5.291
Respuestas
A) Ecuación ordinaria de la elipse:
       x²     +     y²     = 1
       64          36

B) Transformar la ecuación de ordinaria a general
  
     36x² + 64y² = 1 (2304)
     36x² + 64y² = 2304  Pasas este último numero al otro lado de la igualdad cambiándole el signo de positivo a negativo, igualas a cero la ecuación
 
    36x² + 64y² - 2304 = 0

C) Longitud del semieje mayor  
            2a  = 2(8) = 16 unidades
D) Longitud del semieje menor.
            2b = 2(6) = 12 unidades.
E) Longitud del semieje focal
            2c = 2(2√7) = 10.583  o si prefieres 2c = 2(√28) 10.583
F) Coordenadas de los vértices:
      ¡YA LOS TIENES DESDE EL PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN! 
Te doy las coordenadas de los focos
    F₁ (0, -c)     F₂ (0, c)
        (0, - 2√7) F₂ (0, 2√7)  o si lo prefieres
    F₁ (0, - 5.291) F₂ (0. 5.291)
G) La gráfica vos las haced porque este sitio no tiene los caracteres para realizarlas, pero vos tenes los datos.


EJERCICIO 2 LITOTRIPTOR

Se trata de una elipse con centro fuera del origen, de forma horizontal.

centro C = (1, -3)  o sea, que el centro es C = (h, k) 
h = 1,  k = ₋ 3
Foco F₁ (-2, -3)  el valor de c = 3
El valor del semieje menor es 4 unidades
      2b = 4
        b = 4/2
        b = 2

Con esto obtenemos el valor de a, utilizando el teorema de Pitagoras:
a² = c² + b²
a² = 3² + 2²
a² = 9 + 4
a² = 13
a = √13 = 3.6

Respuestas:

A) Ecuación ordinaria:
 
     (x - h)²   +    (y - k)²   = 1
       a²                 b²

Sustituimos los datos:

 (x - 1)²    +    (y +  3)²    = 1
     13                4

B) Transformar de ecuación ordinaria a ecuación general:
 
    4 (x - 1)² + 13 (y + 3)² = 52 (1)   NOTA: 13 por 4 = 52. pasas al otro lado de la igualdad cambiándole el signo, e igualas a cero  (0)
4 (x - 1)² + 13 (y + 3)² - 52 = 0
Desarrollas los binomios al cuadrado
4 (x² - 2x + 1) + 13 (y² + 6y + 9) - 52 = 0 Operar parentesis con el factor de afuera, aplicando la propiedad distributiva y lay de los signos

 4x² - 8x + 4 + 13y² + 78y + 117 - 52 = 0
Acomodar de acuerdo a la ecuación de las cónicas:
  
               Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

4x² + 13y² - 8x + 78y + 4 + 117 - 52 = 0   (operar términos semejantes)
                                    + 121 - 52 = 0
                                             69 = 0

4x² + 13y² - 8x + 78y + 69 = 0  Ecuación general.

C) Longitud del semieje mayor:  2a  =  2(√13) = 7.211

D) Longitud del semieje menor   2b  =  2(2) = 4  ESTE DATO YA SE TENIA DESDE EL PLANTEAMIENTO DEL EJERICIO

E)  Longitud del semieje focal: 2c  =   2(3) = 6

F) Coordenadas de los vértices:
Están ordenadas de acuerdo a los datos planteados desde el principio del ejercicio:
V₁ (h - a.  k)          V₂ (h + a, k)
     (1 - √13,  -3)         (1 + √13,  -3)  
O si lo prefieres en decimales:
V₁ (1 - 3.6,  -3)   V₂ ( 1 + 3.6,  -3)
 V₁ (-2.6,  -3)      V₂ (4.6,  -3)

Vértice del semieje menor

B₁ (h, k - b)     B₂ (h, k + b)
     (1, -3 - 2)        (1, -3 + 2)
B₁ (1, - 5)        B₂ (1, - 1)

y las coordenadas de los focos, aunque ya tienes una desde el planteamiento del ejercicio:

F₁ (h - c,  k)     F₂ (h + c,  k)
    (1 - 3,  -3)         (1 + 3,  -3)
F₁ (-2,  -3)        F₂ (4,  -3)

La gráfica  vos tenes todos los elementos para realizarla.