Encuentra los extremos relativos de las siguientes funciones necesito ayuda con estás dos actividades
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Encuentra los extremos relativos de las siguientes funciones necesito ayuda con estás dos actividades.
a) f(x) = x³ - 3x² - 9 + 1
Para hallar los Extremos relativos de Funciones lo hacemos por su Primera Derivada:
Deriva de un Polinomio:
f(x) = x³ - 3x² - 9 + 1 ⇒
f'(x) = 3x² - 3x ⇒
3x² - 3x = 0
3x(x - 1) = 0 ⇒
x = 0
x -1 = 0 ⇒ x = 1
Signo de f'(x) -∞_____++++ ________ 0 __---------___ 1 ___+++++____ +∞
El signo lo determino tomando valores en cada intervalo:
si x = -1 ⇒ f'(x) = 3(-1)² - 3(-1)
f'(x) = 6 > 0 ( ++++ )
Si x = 1 ⇒ f'(x) = 3(1/2)² - 3(1/2)
f'(x) = - 3/2 < 0 ( ----- )
Si x = 2 ⇒ f'(x) = 3(2)² - 3(2)
f'(x) = 6 > 0 ( ++++ )
Para Saber si es un Máximo o un Mínimo lo comprobamos con la Derivada Segunda /
Si f"(x) > 0 ⇒ Mínimo
Si f"(x) < 0 ⇒ Máximo
f'(x) = 3x² - 3x ⇒ f"(x) = 6x - 3 ⇒
x = 0 ⇒ f"(x) = - 3 < 0 ⇒ Máximo
x = 1 ⇒ f"(x) = 3 > 0 ⇒ Mínimo
Ahora debemos hallar la coordenada en " y " de cada Extremo debo sustituir el valor de " x " hallado en la Ecuación Original:
y = x³ - 3x² - 9 + 1
x = 0 ⇒ y = 0³ - 3( 0)² - 9 + 1 = ⇒
Máximo ( 0 ; -8)
x = 1 ⇒ y = 1³ - 3( 1)² - 9 + 1 = ⇒
Mínimo ( 1 ; -10)
b)
f(x) = √x² - 1
f(x) = √x² - 1 ⇒
f'(x) = (x² - 1)' /2√x² - 1 ⇒
f'(x) = 2x /2√x² - 1 ⇒
f'(x) = x /√x² - 1
x /√x² - 1 = 0 ⇒
x = 0×√x² - 1 ⇒
x = 0 ⇒
√0² - 1 = 0 ⇒
√-1 = 0 Falso ⇒
No tiene ni Máximo ni mínimo
c)
f(x) = (x - 1)/(2x + 1)
f(x) = (x - 1)/(2x + 1) ⇒
f'(x) = (x - 1)'×(2x + 1) - ((x - 1)/(2x + 1)') /(2x + 1)²
f'(x) = 2x - 1 - ( 2(x - 1)) / (2x + 1)²
f'(x) = 2x - 1 - 2x - 2 / (2x + 1)²
f'(x) = 3 / (2x + 1)² ⇒
3/ (2x + 1)² = 0 ⇒
3 = 0× (2x + 1)² ⇒
3 = 0 ×××× ⇒
No tienen ni Máximo ni Mínimos Relativos
d)
f(x) = e⁻ˣ²
f('x) = (-x²)'×e⁻ˣ² ⇒
f('x) = -2xe⁻ˣ²
-2xe⁻ˣ² = 0 ⇒ Factor nulo
-2x = 0 ⇒ x = 0
e⁻ˣ² = 0 ⇒ nunca va a ser cero ⇒
No tiene ni Máximo ni mínimos relativos
Espero haber ayudado!!!
Saludos!!!!