Question

En un triangulo rectángulo sus lados se encuentran en progresión aritmética de razón igual a 4.Calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotecada

Answer 1

En un triángulo rectángulo sus lados se encuentran en progresión aritmética de razón igual a 4.

Calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa.

Hola!!!

Si sus lados están en Progresión Aritmética de Razón = 4 significa que:

P. A: x - 4 ; x ; x + 4

Cateto 1 = x - 4

Cateto 2 = x

Hipotenusa = x + 4

Teniendo en cuenta que la Hipotenusa siempre es el lado mayor.

Aplicando el Teorema de Pitágoras queda:

(x + 4)² = (x - 4)² + x²

Para desarrollar debemos saber como descomponer un binomio al cuadrado:

(a + b)² x + 4 = a² + 2×a×b + b²

(a - b)² = a² - 2×a×b + b²

Desarrollamos:

(x + 4)² = (x - 4)² + x²

x² + 2×X×4 + 4² = x² -2×X×4 + 4² + x²

x² + 8x + 16 = x²- 8x + 16 + x²

x² + 8x + 16 = 2x² - 8x + 16

x² - 2x² + 8x + 8x + 16 - 16 = 0

-x² + 16x = 0

x(-x + 16) = 0 ⇒

x = 0 No puede ser por que no existiría el cateto 2 y por lo tanto no existiría el triángulo.

-x + 16 = 0 ⇒

-x = -16 ⇒

x = 16 Longitud del cateto 1

Antes de continuar verificamos que estamos con el valor correcto:

Cateto 1 = x - 4 ⇒ 16 - 4 = 12 ⇒

Cateto 1 = 12

Cateto 2 = x = 16 ⇒

Cateto 2 = 16

Hipotenusa = x + 4 ⇒ 16 + 4 = 20 ⇒

Hipotenusa = 20

20² = 12² + 16²

400 = 144 + 256

400 = 400 Verifica!!!

Continuamos para hallar la longitud de la Mediana relativa a la Hipotenusa:

Formula para hallar la Longitud de la Mediana:

mₐ = (√2(b² + c²) - a²)/2

mAM = (√2(12² + 16²) - 20²)/2

mAM = (√400)/2

mAM = 20/2

mAM = 10 cm Longitud de mAM relativa a la Hipotenusa

Saludos!!!