Question

Dos astas de banderas se levantan verticalmente sobre un plano horizontal. A y B son dos puntos sobre la recta que une los pies de las astas y estan entre ellos los algunos de elevación de los extremos superiores de las astas vistos desde A son 30 grados y 60 grados y vistos desde B son de 60 grados y 45 grados. Si la longitud de AB es de 9 metros, hallar las longitudes de las astas y la distancia que las separa. (graficado) Gracias!

Answer 1

Dos astas de banderas se levantan verticalmente sobre un plano horizontal. A y B son dos puntos sobre la recta que une los pies de las astas y están entre ellos los ángulos de elevación de los extremos superiores de las astas vistos desde A son 30º y 60º y vistos desde B son de 60º y 45º. Si la longitud de AB es de 9 metros;

Hallar las longitudes de las astas y la distancia que las separa.

Hola!!!

Lo primero que realizamos es un esquema gráfico de la situación planteada.

Comenzamos por un lado relacionando Triángulos formados desde A y luego Triángulos formados desde B:

En Δ ABC:

Tang30º = Cateto Opuesto/ Cateto Adyacente

Tang30º = H₁/X₁ ⇒ H₁ = Tang30º × X₁ ( i )

En Δ BCD:

Tang 60º = H₁/(9 + X₁) ⇒ H₁ = Tang60º × (9 + X₁) ( ii )

Igualamos ambas ecuaciones ( i ) = ( ii ) :

Tang30º × X₁ = Tang60º × (9 + X₁)

Tang30º × X₁ = 9×Tang60º + Tang60º × X₁

Tang30º × X₁ - Tang60º × X₁ = 9×Tang60º

X₁ = (Tang30º - Tang60º) = 9×Tang60º

X₁ = 9×Tang60º / (Tang30º - Tang60º)

X₁ = 13.5 m Distancia desde el punto A al Asta CD

Sabemos que:

H₁ = Tan30º × X₁

H₁ = Tan30º × 13.5

H₁ = 7.8 m Altura del Asta CD

En Δ BFE:

Tang 60º = H₂ /X₂ ⇒

H₂ = Tang60º × X₂ ( iii )

En Δ AEF:

Tang45º = H₂/(9 + X₂) ⇒ H₂ = Tang45º × (9 + X₂) ( iv )

Igualamos ambas ecuaciones ( iii ) = ( iv ) :

Tang60º × X₂ = Tang45º × (9 + X₂) Tang45º = 1

Tang60º × X₂ = 1 × (9 + X₂)

Tang60º × X₂ = 9 + X₂

Tang60º × X₂ - X₂ = 9

X₂ × (Tang60º - 1 ) = 9

X₂ = 9/ (Tang60º - 1)

X₂ = 12.3 m Distancia desde el punto B al Asta EF

Sabemos que:

H₂ = Tang60º × X₂

H₂ = Tang60º × 12.3

H₂ = 21.3 m Altura del Asta EF

Distancia entre las Astas:

X = X₁ + 9 + X₂

X = 13.5 m + 9 m + 12.3 m

X = 34.8 m Distancia entre Astas

Dejo un archivo adjunto con el esquema gráfico!!!

Saludos!!!