Question

Encuentre la integral de f(x,y,z)=x+y+z sobre el segmento de recta que va desde (1,2,3) hasta (0,-1,1)

Answer 1

(1) hallemos la ecuación de la recta que pasa por tales puntos

$(x,y,z)=(1,2,3)+[(0,-1,1)-(1,2,3)]r~,~ r\in \mathbb{R}\\ \\(x,y,z)=(1,2,3)-(1,3,2)r~,~ r\in \mathbb{R}\\ \\\text{La ecuaci\'on del segmento...}\\ \\\bullet \text{ Note que con r=0 tenemos el punto de partida (1,2,3) y con r=1 }\\ \text{tenemos el punto final (0,-1,1) entonces :}\\ \\\hspace*{3cm}\phi(r)=\begin{cases}x=1-r\\y=2-3r\\z=3-2r\end{cases}~,~r\in [0,1]\\ \\ \\\bullet f(x,y,z)=x+y+z\to (f\circ \phi)(r)= (1-r)+(2-3r)+(3-2r)=6-6r$

(2) Calculemos la integral

$\displaystyle\int_{\gamma}f=\int_{0}^{1}6-6r~dr\\ \\ \\\hspace{3cm}\boxed{\int_{\gamma}f=3}$