Question

En una empresa se ha encontrado que la función de producción con respecto al tiempo está dada por la inecuación 4t2−26t−48≥0, (donde t está en meses) por lo que se requiere determinar a partir de qué momento empieza a tener ganancia y el tiempo en el cual se tiene la producción más baja para poder tomar decisiones sobre el negocio.

Answer 1

En una empresa se ha encontrado que la función de producción con respecto al tiempo está dada por la inecuación 4t²−26t−48 ≥ 0, (donde t está en meses) por lo que se requiere determinar a partir de qué momento empieza a tener ganancia y el tiempo en el cual se tiene la producción más baja para poder tomar decisiones sobre el negocio.

Hola!!!

El enunciado nos indica una inecuacion valida para los t ≥ 0, por lo tanto debemos resolver para hallar los valores en que la gráfica corta al eje representativo del tiempo " t " y a partir de ello visualizar en que momento la producción comienza a dar ganancias.

P(t) = 4t² - 26t - 48 ≥ 0

Igualamos a cero y resolvemos por Formula General: t = (-b+-√b²-4×a×c)/2×a

4t² - 26t - 48 = 0

t = [26+-√(-26)²-4×4×(-48)]/2×4

t = (26+-√1444)8

t = (26 +- 38)/8 ⇒

t₁= (26 + 38)/8

t₁ = 64/8

t₁ = 8 Corte con el eje t

t₂ = (26 - 38)/8

t₂ = -12/8

t₂ = -3/2 Fuera del Dominio porque es < 0

Ahora estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la Función, esto lo realizamos con la Derivada Primera:

P(t) = 4t² - 26t - 48 ⇒

P'(t) = 8t - 26 ⇒

8t - 26 = 0 ⇒

t = 26/8

t = 13/4 ≡ 3.25 Abscisa del punto critico de la funcion.

Para hallar la ordenada sustituimos este valor en la ecuación original:

P(t) = 4t²−26t − 48

P(3.25) = 4(3.25)² - 26(3.25) - 48

P(t) = -90.25 Ordenada del punto critico.

Par saber si es un Maximo o Minimo hallamos la Derivada segunda y sustituimos el valor hallado anteriormente, teniendo en cuenta que:

Si P"(t) > 0 ⇒ Concavidad Positiva ⇒ Mínimo

Si P"(t) < 0 ⇒ Concavidad Negativa ⇒ Máximo

P'(t) = 8t - 26 ⇒

P"(t) = 8 > 0 ⇒ Mínimo (3.25 ; -90.25)

Graficamos (ver grafico en archivo adjunto) y observamos claramente:

A partir del mes 8 la Empresa comienza a tener Ganancias

La produccion mas baja esta justo en el Minimo de la Funcion y es a los :

3.25 meses = 3 meses y 8 días.

Espero haber ayudado!!

Saludos!!!