En una empresa se ha encontrado que la función de producción con respecto al tiempo está dada por la inecuación 4t2−26t−48≥0, (donde t está en meses) por lo que se requiere determinar a partir de qué momento empieza a tener ganancia y el tiempo en el cual se tiene la producción más baja para poder tomar decisiones sobre el negocio.
Respuestas
En una empresa se ha encontrado que la función de producción con respecto al tiempo está dada por la inecuación 4t²−26t−48 ≥ 0, (donde t está en meses) por lo que se requiere determinar a partir de qué momento empieza a tener ganancia y el tiempo en el cual se tiene la producción más baja para poder tomar decisiones sobre el negocio.
Hola!!!
El enunciado nos indica una inecuacion valida para los t ≥ 0, por lo tanto debemos resolver para hallar los valores en que la gráfica corta al eje representativo del tiempo " t " y a partir de ello visualizar en que momento la producción comienza a dar ganancias.
P(t) = 4t² - 26t - 48 ≥ 0
Igualamos a cero y resolvemos por Formula General: t = (-b+-√b²-4×a×c)/2×a
4t² - 26t - 48 = 0
t = [26+-√(-26)²-4×4×(-48)]/2×4
t = (26+-√1444)8
t = (26 +- 38)/8 ⇒
t₁= (26 + 38)/8
t₁ = 64/8
t₁ = 8 Corte con el eje t
t₂ = (26 - 38)/8
t₂ = -12/8
t₂ = -3/2 Fuera del Dominio porque es < 0
Ahora estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la Función, esto lo realizamos con la Derivada Primera:
P(t) = 4t² - 26t - 48 ⇒
P'(t) = 8t - 26 ⇒
8t - 26 = 0 ⇒
t = 26/8
t = 13/4 ≡ 3.25 Abscisa del punto critico de la funcion.
Para hallar la ordenada sustituimos este valor en la ecuación original:
P(t) = 4t²−26t − 48
P(3.25) = 4(3.25)² - 26(3.25) - 48
P(t) = -90.25 Ordenada del punto critico.
Par saber si es un Maximo o Minimo hallamos la Derivada segunda y sustituimos el valor hallado anteriormente, teniendo en cuenta que:
Si P"(t) > 0 ⇒ Concavidad Positiva ⇒ Mínimo
Si P"(t) < 0 ⇒ Concavidad Negativa ⇒ Máximo
P'(t) = 8t - 26 ⇒
P"(t) = 8 > 0 ⇒ Mínimo (3.25 ; -90.25)
Graficamos (ver grafico en archivo adjunto) y observamos claramente:
A partir del mes 8 la Empresa comienza a tener Ganancias
La produccion mas baja esta justo en el Minimo de la Funcion y es a los :
3.25 meses = 3 meses y 8 días.
Espero haber ayudado!!
Saludos!!!
