Question

Los lados de un triángulo rectángulo estan dados por las expresiones x, x-7 y x+1, respectivamente. Determinar el valor numérico de los lados

Answer 1

Hola!

Lo primero es encontrar una ecuación o modelo matemático que te ayude a relacionar los tres lados del triángulo, dado que es un triángulo rectángulo, el teorema de pitágoras es la ecuación por excelencia, así que el modelo nos dice los siguiente:

sean "a", "b" y "c" los lados de un triángulo rectángulo donde "a" y "b" son catetos y "c" es la hipotenusa se cumple que:

$c^{2} = a^{2} + c^{2}$

Ahora dado que no nos dicen qué es cateto y cuál es la hipotenusa, podemos deducirlo evaluando el valor de "x" en cada expresión.

Expresión 1 => x

Expresión 2 => x - 7

Expresión 3 => x + 1

Notamos algo peculiar en la "Expresión 2" y es que si valuamos para cualquier número menor o igual a 7, la expresión se nos vuelve o negativa o nos da como resultado cero, lo cuál no puede suceder pues un triángulo no ocupa lados que miden cero unidades mucho menos lados con números negativos, por lo tanto el valor mínimo que puede tomar "x" es de "8" puesto que si cambiamos "x" por "8" todas las expresiones nos arrojarán un valor entero positivo.

Expresión 1 => x => Sustituyendo en 8 ::::: Expresión 1 = 8

Expresión 2 => x - 7 => Sustituyendo en 8 ::::: Expresión 2 = 8 - 7 = 1

Expresión 3 => x + 1 => Sustituyendo en 8 ::::: Expresión 3 = 8 + 1 = 9

Aquí deducimos que la expresión número 3 es la que describe la hipotenusa puesto que es el lado de mayor longitud, sabiendo esto procedemos a resolver la ecuación de la siguiente forma:

$c^{2} =a^{2} +b^{2}$

Donde "c" es la hipotenusa, en este caso "x + 1" y los otros son catetos:

Sustituyendo y resolviendo

$(x+1)^{2} = (x)^{2} + (x-7)^{2}$

Desarrollando los cuadrados

$(x^{2}+2x+1) =(x^{2}) +(x^{2}-14x+49)$

Simplificando de forma algebraica:

$x^{2} + 2x+ 1 = x^{2} + x^{2} + 14x +49$