Question

Se desea construir un recipiente cilindrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de un metro cubico. Encuentre las dimensiones (radio y altura) que debe tener para que la cantidad de material sea minima, suponiendo que no se desperdicia nada

Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos aplicar procesos de optimización. Para ello planteamos la ecuación de volumen y la de área superficial.

1- V = π·r²·h

2- A = 2 π r h + π r²

Ahora, de la ecuación 1, despejaremos la altura y la sustituiremos en la ecuación 2, entonces:

1 = π·r²·h → h = 1/π·r²

Sustituimos en 2:

A = 2 π r (1/π·r²) + π r²

A = 2/r + π r²

A = (2+π r³ ) /r

Derivamos el área respecto al radio y despejamos:

dA/dr = (2π r³ - 2)/r² = 0 → r = 1/∛π ≈ 0.68 m

Por tanto el radio y la altura deben tener un valor de 0.68 m para formar un cilindro de 1 m³ con un costo mínimo.

Answer 2

    Las dimensiones del radio y altura para que la cantidad de material sea mínima es

• r ≈ 0.68 m
• h = 0.68m

¿Qué son las derivadas?

Las derivadas en forma teóricas son razones de cambio con la que una función o una variable varia en funcíon del tiempo.

  Las ecuaciones que se van a utilizar son:

• 1- V = πr²h → h = 1/πr²
• 2- Al = 2πrh + πr²

  De la primera ecuación despejaremos la altura que sustituiremos en la ecuación 2 de la siguiente manera:

A = 2πr (1/πr²) + πr²

A = 2/r + πr²

A = (2+πr³ ) /r   Procedemos a derivar el área igualando a 0

A' = (2π r³ - 2)/r² = 0

r = 1/∛π

r ≈ 0.68 m     la altura será

h = 1/π(0.68)²

h = 0.68m

Aprende mas sobre derivadas en:

brainly.lat/tarea/59669855

#SPJ3