Question

Se producirá una lata para jugo en forma de cilindro circular recto con un volumen de 750 cm^3. Encuentra las dimensiones de la lata de modo que para hacerlas se use la menor cantidad de material

Answer 1

Se producirá una lata para jugo en forma de cilindro circular recto con un volumen de 750 cm^3. Encuentra las dimensiones de la lata de modo que para hacerlas se use la menor cantidad de material.

Hola!!!!

Volumen Cilindro recto: V = Área Base×Altura

V = π×R²×h = 750 cm³

Lata cerrada ⇒ 2 Bases ⇒ A. Base = π×R²

A. Lateral = 2π×R×h

Función Objetivo: F(R,h) = 2 × A. Base + A. Lateral

F(R,h) = 2π×R² + 2π×R×h ( i ) Función. Objetivo

G(R,h) = π×R²×h = 750 Función Restricción

Derivamos cada Función con respecto a " R " y con respecto a " h ":

F(R) = 4π×R + 2π×h ; G(R) = 2π×R×h

F(h) = 2π×R G(h) = π×R²

Operadores de Lagrange:

ΔF(R,h) = λ×G(R,h) ⇒ F(R) = λ×G(R)

⇒ F(h) = λ×G(h) ⇒ Sustituyo

4π×R + 2π×h = λ×2π×R×h ⇒ ×(R) → 4π×R² + 2π×h×R = λ×2π×R²×h

2π×R = λ×π×R² ⇒ (-2h) → - 4π×R×h = -λ×2π×R²×h ( + )

4π×R² - 2π×R×h = 0 ⇒ Factorizo ⇒

2π×R(2R - h) = 0 ⇒ Teorema Factor nulo: 2π×R = 0 ⇒ R = 0 ×××× No

2×R - h = 0 ⇒ h = R/2 Si

Sustituimos en la Ecuación Restricción: G(R,h) = π×R²×h = 750 ⇒

π×(h/2)²×h = 750 ⇒

π×h²/4×h = 750 ⇒

π×h³/4 = 750 ⇒

h³ = 750/π/4 ⇒

h³ = 3000/π ⇒

h = ∛3000/π ⇒

h = 9,8 cm

R = h/2 ⇒

R = 9,8/2 ⇒

R = 4,92 cm

Fusión Objetivo:

Área Mínima: F(R,h) = 2π×R² + 2π×R×h

F(R,h) = 2π×(4,92)² + 2π(4,93)×(9,8) = 324 cm² AREA MINIMA

Probamos con otros valores y comparamos para verificar:

De la Función Restricción despejamos " h " ⇒ h = 750/π×R²

Si R = 3 ⇒ h = 26,5 ⇒

Área Mínima = 2π×(3)² + 2π(3)×(26,5) = 527,8 cm²

Si R = 6 ⇒ h = 6,63

Área Mínima = 2π×(6)² + 2π(6)×(6,63) = 363 cm²

Radio ║ Altura ║ Área (cm²)

4,92 ║ 9,8 ║ 328

3 ║ 26,5 ║ 527,5

6 ║ 6,63 ║ 363

Las medidas que generan el Área Mínima son:

R = 4,92 cm h = 9,8 cm

Dejo un archivo adjunto con mas detalles.

Saludos!!!!